Cette section fournit des explications sur les mathématiques apparaissant dans l’histoire.

Idéalement, ce module est fait en collaboration avec l’enseignant·e de mathématiques.

Le sablier de vie

A la fin de cette histoire Alexandra doit choisir entre deux sabliers de vie :

• Le premier sablier contient une quantité de sable équivalant à 1 semaines, c-à-d 168 heures. Or chaque samedi à minuit, la quantité de sable restant dans le sablier est multipliée par 0,9.
• Le deuxième sablier contient une quantité de sable équivalant à 2 heures, mais la quantité de sable restant chaque samedi à minuit est multipliée par 1,1.

D‘un point de vue mathématique, il est clair que le choix du sablier 2 est préférable, car la quantité de sable va augmenter, alors que dans le sablier 1, elle va diminuer.

Si Alexandra choisit le sablier 2 et ne consomme pas de sable pendant un certain nombre de semaines, la quantité de sable augmentera. Une question mathématique intéressante est de trouver le nombre exact de semaines qu’Alexandra devra attendre pour obtenir une quantité de sable suffisante pour vivre continuellement.

Regardons d’abord combien de sable le sablier doit contenir pour que Alexandra puisse vivre toute une semaine (c-à-d consommer les 168 heures) sans diminuer la quantité de sable final présent dans le sablier après samedi minuit. Soit x cette quantité de sable. Alors on a :

\[\begin{align}
& & (x-168) \cdot 1{,}1 – (x-168) & \geq  168 \\ & \Leftrightarrow & (x-168) \cdot 0{,}1 & \geq 168 \\ & \Leftrightarrow & x-168 & \geq 1680 \\ & \Leftrightarrow & x & \geq 1848 \end{align}\]

 

Donc si le sablier contient une quantité de sable supérieure à l’équivalent de 1848 heures, Alexandra pourra consommer exactement 168 heures par semaine (à savoir la semaine entière). A minuit le sablier se remplira exactement de 168 heures, temps qu‘Alexandra pourra à nouveau consommer et ainsi de suite. Elle pourra donc vivre continuellement.

Pour finir calculons combien de temps Alexandra devra attendre pour que le sablier 2 contienne l‘équivalent de 1848 heures.

\[
\begin{align}
& & 2 \cdot 1{,}1^x & \geq  1848 \\
& \Rightarrow & 1{,}1^x & \geq  924\\
& \Rightarrow & x & \geq  \log_{1,1}(924) \\
& \Rightarrow & x & \geq  71{,}6472
\end{align}
\]

 

Après «seulement» 72 jours, le sablier 2 qui ne contenait qu’une quantité de sable équivalant à deux heures au début, contient assez de sable pour qu‘Alexandre puisse vivre continuellement.

Petit virus

Dans cette histoire, 4 jeunes détiennent une application qui leur permet de propager une photo quelconque sur un réseau social. Pour cela ils doivent charger une photo et choisir un nombre n. La photo sera alors envoyée à n personnes au hasard sur le réseau social. Et le lendemain, le compte de chacune de ces n personnes envoie au hasard la photo à n nouvelles personnes, qui ne l‘ont pas encore reçue. Chaque jour la photo est envoyée de chaque compte qui a reçu la photo la veille à n nouvelles personnes.

Cette histoire est une belle illustration du fait que les puissances croissent toujours beaucoup plus vite que ce que l’on pense. En effet, dans le cas où la photo est envoyée à seulement 3 personnes, notre intuition nous dit que cela devrait prendre beaucoup de temps (voire une éternité) jusqu’à ce que tous les utilisateurs du réseau social (au nombre total de presque 2 milliards) la reçoivent. Or en faisant le calcul, on se rend compte du contraire.

Regardons combien de jours il faudra attendre pour que les 2 milliards d’utilisateurs possèdent la photo. Soit x le nombre de jours qu’il faut attendre. Alors

\[
\begin{align}
& & 3^x & = 2 \cdot 10^9 \\
& \Rightarrow & x & = \log_3(2 \cdot 10^9) \\
& \Rightarrow & x & \approx 19{,}494
\end{align}
\]

 

Ceci signifie que 319 est légèrement inférieur à 2 milliards, alors que 320 est supérieur à 3 milliards. Nous pouvons donc conclure qu’après 20 jours, tous les utilisateurs de TakTok auront reçu la photo. Le nombre de 20 jours est clairement contre-intuitif.

Si on considère l‘idée initiale des jeunes, c’est-à-dire envoyer la photo à 30.000 personnes, alors il ne faut que 3 jours pour que tous les utilisateurs de TakTok reçoivent la photo :

\[
\begin{align}
& &30000^x & = 2 \cdot 10^9\\
& \Rightarrow & x & = \log_{30000}(2 \cdot 10^9)\\
& \Rightarrow & x & \approx 2{,}077
\end{align}
\]

Donc 2 jours ne sont tout juste pas assez, mais après 3 jours tous les utilisateurs de TakTok seront en possession de la photo.