Ce module a été conçu ensemble avec Dr Marie Lhuissier, conteuse-mathématicienne de profession.

1. Public visé : 6C et 6G
2. Local : pas de local spécial à prévoir
3. Matériel nécessaire : éventuellement système audio
4. Des ordinateurs ou tablettes peuvent être utilisés pour lire le début de l’histoire et les instructions. Ces derniers peuvent aussi être tout simplement imprimés.
5. Durée : 3 heures d’enseignement

Compétences visées par le cours de français

• Lecture d‘extraits de textes narratifs : l’élève sait retracer l’enjeu d’un texte. L’élève est capable de comprendre et relever les informations essentielles et spécifiques d‘un texte fictif.
• Compréhension de l‘oral : l’élève sait comprendre et expliquer les actes, motivations et sentiments des personnages d’une histoire écoutée. L’élève est capable de comprendre une pièce radiophonique (ici une nouvelle).
• Expression écrite de textes narratifs : l’élève sait écrire la suite d’une histoire tout en respectant les indices du texte de départ. L’élève est capable de rédiger un texte fictif en respectant les contraintes liées à l’exercice.

Compétences visées par le cours de mathématiques

• Notion de puissance : l’élève connaît la notion d’une puissance. L’élève est capable d’utiliser une calculatrice ou un logiciel pour effectuer des calculs et en interpréter le résultat.

Compétences visées par le Guide de référence pour l’éducation aux et par les médias

• Compétences 2 : 2.1 Interagir avec autrui

Deux débuts d’histoire sont proposés aux élèves. Les deux histoires tournent autour du thème des puissances mathématiques. Le but est d’écrire une suite à une des histoires. Nous laissons le choix à l’enseignant·e de proposer les deux histoires aux élèves ou d’en choisir une.
Nous séparons le déroulement de l’unité en deux parties, une par histoire.

Le sablier de vie

Première heure d’enseignement 

Entrée en matière (10 min) : L‘enseignant·e lit l’histoire Le sablier de vie (M2). Les élèves n’ont pas encore de support écrit et écoutent l’histoire. De façon alternative l‘enseignant·e peut aussi faire écouter l’histoire lue par Marie Lhuissier (enregistrée et disponible en M1 Le sablier de vie – fichier audio).

Différenciation : Une version simplifiée de l’histoire est disponible en M3 Le sablier de vie- version simplifiée – fichier audio. Celle-ci peut être utilisée par une partie ou par toute la classe.

Préparation 1 (10 min) : Relecture de l’histoire et vocabulaire

• Les élèves ouvrent le matériel pédagogique sur leur tablette ou lisent les textes qui leur ont été distribués. L’histoire Le sablier de vie se trouve en M2 Le sablier de vie. Différenciation : il existe une version simplifiée de l’histoire (M4 Le sablier de vie –Version simplifiée). Dans le cas de la différenciation interne (6eG), une partie de la classe lira la version simplifiée (malgré le fait que toute la classe a écouté la version originale). Le même procédé est envisageable dans la filière classique où il n’existe pas de différenciation.
• Les élèves relisent l’histoire chacun·e pour soi et soulignent les mots qu’il·elle·s ne comprennent pas. Le vocabulaire en bas de page constitue une aide supplémentaire.
• Discussion sur le texte et explication du vocabulaire inconnu.
  

Compréhension du texte (10 min) : Mise au point du contenu de l’histoire

• L’enseignant·e discute en plénière avec les élèves du contenu de l’histoire.
• L‘enseignant·e s’assure que tous les élèves ont compris le début de l’histoire. Il est important de souligner le fait qu’Alexandra est confrontée à un choix à la fin de l’extrait : choisir le sablier 1 avec plus de temps au début ou le sablier 2 avec moins de temps au début.

Préparation 2 (20 min) : Préparation de l’écriture et consignes (en groupe)

• La classe est partagée en groupes de 3 à 4 élèves.
• Ensemble avec l’enseignant·e, les élèves lisent les consignes sur M5 Écrire la suite de l’histoire. Dans leur groupe respectif, les élèves réfléchissent à la suite de l’histoire.
• Les élèves sont très libres pour inventer la suite de l’histoire. Il·elle·s doivent seulement respecter deux consignes : il·elle·s doivent écrire la réflexion que fait Alexandra pour choisir un des sabliers. Il n‘est pas nécessaire que cette réflexion repose sur un raisonnement juste, car à cette étape, ce ne sont pas les conséquences qui importent. Il est juste important que le choix soit expliqué. Les élèves qui le souhaitent, peuvent procéder à un raisonnement mathématique qui justifie le choix d‘Alexandra, mais ce n’est pas nécessaire. Deuxièmement, il est important que les élèves incluent un passage sur ce qui se passe une année plus tard : leur suite de l’histoire peut se dérouler sur plus d’une année ou il·elle·s peuvent inclure un épilogue sur l’état d’Alexandra une année plus tard. Le but est d’amener les élèves à effectuer une réflexion sur l’emploi qu’ils feront du sablier de leur choix et de les forcer à faire le calcul mathématique sur lequel se base cette réflexion.
  Différenciation : pour les élèves qui se sentent moins à l’aise avec l’écriture libre, un schéma narratif (M6 Schéma narratif) qui guidera l’écriture de la suite de l’histoire est disponible. Les consignes précédentes restent valables. En utilisant M7 Suite de l’histoire par questions, il est possible d’éviter l’écriture d’une suite. En répondant à des questions, les élèves seront néanmoins amené·e·s à réfléchir aux conséquences du choix d’Alexandra.
• Les élèves ont le droit d’utiliser une calculatrice, un tableur (style Excel), WolframAlpha (https://www.wolframalpha.com/) ou n’importe quel autre logiciel ou programme informatique pour faire les calculs mathématiques.

• Pendant le temps restant, les élèves réfléchissent à la suite de l’histoire et préparent une première ébauche de leur rédaction au sein de leur groupe.
• La rédaction se fera en individuel. Les élèves sont libres de suivre l’idée fixée dans leur groupe ou de partir dans une autre direction.

Deuxième heure d’enseignement

Rédaction (50 min) : Les élèves rédigent la suite de l’histoire en travail individuel.

Troisième heure d’enseignement

Entrée en matière (15 min) : Discussion des rédactions corrigées.

• Les rédactions des élèves ont été corrigées par l’enseignant·e et sont distribuées aux élèves.
• Des points importants (fautes récurrentes, vocabulaire etc.) sont discutés en plénière.

Mise en commun (25 min) : Discussion en plénière sur les différentes fins possibles

• L’enseignant·e divise la classe en 4 groupes :
  – choix du sablier 1 et économie du temps,
  – choix du sablier 1 et utilisation immédiate du temps,
  – choix du sablier 2 et économie du temps,
  – choix du sablier 2 et utilisation immédiate du temps.
• Les différents groupes partagent leur choix et leur réflexion derrière ce choix.
• Une discussion sur le sort d‘Alexandra après une année est entamée : est-elle définitivement morte ? Restera-t-elle un fantôme pour toujours ? A-t-elle bien économisé et allongé son temps disponible ?

Fin (10 min) : Lecture à voix haute de quelques suites de l‘histoire.

Les élèves qui se portent volontaires lisent leur suite à voix haute devant le reste de la classe.

Courtes explications mathématiques

Ce paragraphe donne de courtes explications sur les mathématiques apparaissant dans l’histoire. Pour des explications plus détaillées, nous renvoyons à la section 4.5 Pour aller plus loin.

À la fin de l’histoire, Alexandra a deux options : le premier sablier contenant une quantité de sable équivalant à 1 semaine, c’est-à-dire 7 ⋅ 24 = 168 heures, mais qui est multipliée par 0,9 une fois par semaine ou le deuxième sablier qui ne contient qu’une quantité de sable équivalant à 2 heures, mais qui est multipliée chaque semaine par 1,1. Au premier abord, le lecteur se dit qu’il n’y a pas beaucoup de différences entre 0,9 et 1,1. Du coup l’option 1 l’emportera largement sur l’option 2. Or 0,9 est un nombre inférieur à 1 alors que 1,1 lui est supérieur. Ceci a comme conséquence que la quantité de sable dans le sablier 1 diminue, alors que celle dans le sablier 2 augmente. Comme la différence entre 0,9 et 1,1 est petite, au début la différence entre les deux quantités ne sera pas importante. Même si aucune quantité n’est consommée:

• après une semaine, le sablier 1 ne contient plus que 168 ⋅ 0,9 = 152,2 heures (ce qui équivaut à 152 heures et 12 minutes) alors que le sablier 2 contient 2 ⋅1,1 = 2,2 heures (ce qui équivaut à 2 heures et 12 minutes).
• après deux semaines, le sablier 1 contient 168 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9 = 168 ⋅ 0,9² = 136,08 heures et le sablier 2 contient 2 ⋅ 1,1 ⋅ 1,1 = 2 ⋅ 1,1² = 2,42 heures.
• après 10 semaines, le sablier 1 contient 168 ⋅ 0,9¹⁰ ≈ 58,58 heures et le sablier 2 contient 2 ⋅ 1,1¹⁰ ≈ 5,19 heures.
• Finalement, après 1 année (52 semaines), dans le sablier 1 il ne reste plus qu‘environ 42 minutes (168 ⋅ 0,9⁵² ≈ 0,70) alors que le sablier 2 contient désormais une quantité de sable qui équivaut à plus de 11 jours (2 ⋅ 1,1⁵² ≈ 284,09), .

Bien sûr ces calculs changent si Alexandra commence à consommer du temps. Mais ceci donne une idée claire de l’évolution du temps contenu dans les sabliers.

En effectuant des calculs plus évolués (pour les détails, nous renvoyons à la section 4.5 Pour aller plus loin), on découvre qu’après 72 semaines, dans le sablier 2 il y a une quantité de sable équivalant à environ 1911 heures. Si Alexandra vit maintenant toute la semaine, c‘est-à-dire consomme les 168 heures, après exactement une semaine, il lui restera 1743 heures. Ces 1743 heures vont être multipliées par 1,1 ce qui donnera comme résultat 1917 heures et quelques minutes. Ceci correspond à une augmentation de 174 heures. De ces 174 heures, Alexandra pourra en consommer à nouveau 168 et ainsi de suite. Ceci signifie que si Alexandra réussit à attendre 72 semaines sans rien consommer du sablier 2, alors elle aura assez de sable pour vivre continuellement.

Petit virus

Première heure d’enseignement 

Entrée en matière (10 min) : L‘enseignant·e lit/raconte l’histoire à haute voix. Les élèves n’ont pas encore de support et écoutent l’histoire. De façon alternative l‘enseignant·e peut aussi faire écouter l’histoire lue par Marie Lhuissier (enregistrée et disponible en M8 Petit virus – fichier audio).

Différenciation : Une version simplifiée de l’histoire est disponible en M10 Petit virus – version simplifiée – fichier audio. Celle-ci peut aussi être utilisée par une partie de la classe ou par la classe tout entière.

Préparation 1 (10 min) : Relecture de l’histoire et vocabulaire

• Les élèves ouvrent le matériel pédagogique sur leur tablette ou lisent les textes qui leur ont été distribués. L’histoire Petit virus se trouve en M9.
  Différenciation : la version simplifiée (M11 Petit virus – Version simplifiée) de l’histoire peut aussi être lue. Il est même envisageable que seulement une partie de la classe lise la version simplifiée (même si toute la classe a écouté la version originale).
• Les élèves relisent l’histoire chacun·e pour soi et soulignent les mots qu’il·elle·s ne comprennent pas. Remarquons qu’il y a déjà du vocabulaire en bas de page.
• Discussion et explication du vocabulaire inconnu.

Compréhension du texte (10 min) : Mise au point du contenu de l’histoire

• L’enseignant·e discute en plénière avec les élèves du contenu de l’histoire.
• L‘enseignant·e s’assure que tou·te·s les élèves aient compris le début de l’histoire. Il est important de souligner le fait que la photo truquée d’Emil était censée être envoyée à 30000 personnes qui l’auraient à leur tour réenvoyée à 30000 nouvelles personnes etc. Il faut également insister sur le fait que Lina change le nombre 30000 en 3, espérant que la photo disparaîtra dans la masse.

Préparation 2 (20 min) : Préparation de l’écriture et consignes (en groupe)

• Ensemble avec l’enseignant·e, les élèves lisent les consignes sur M12 Écrire la suite de l’histoire. La classe est partagée en groupes de 3 à 4 élèves (partie 1).
• Dans leurs groupes respectifs, les élèves réfléchissent à la suite de l’histoire sans utiliser de calculatrice et sans effectuer de calculs compliqués. Le but est de faire confiance à son intuition (même si cela entraîne un résultat probablement faux).
• Les élèves préparent une première ébauche de leur rédaction au sein de leur groupe.
• Les élèves passent individuellement à la partie 2, où ils doivent effectuer des calculs précis. Les élèves ont le droit d’utiliser une calculatrice, un tableur (style Excel), WolframAlpha (https://www.wolframalpha.com/) ou n’importe quel autre logiciel ou programme informatique pour faire les calculs mathématiques.
• En se basant sur les résultats de leurs calculs, les élèves doivent réinventer une suite de l’histoire. Normalement cette version sera différente de celle discutée en groupe. En effet l‘intuition humaine a du mal à prévoir l‘évolution d‘une série impliquant des puissances. Donc en se basant seulement sur leur intuition, la plupart des élèves (même si cela ne vaudra pas pour tous les élèves) seront persuadés que la photo se perdra dans la masse. Dans le meilleur des cas ils croiront que le temps que la photo mettra pour atteindre tout le monde est tellement élevé que TakTok n’existera plus, ou que personne ne reconnaîtra plus Emil, … Or les calculs montreront que ce n’est pas du tout le cas (voir plus bas sous Courtes explications mathématiques).

• En principe les élèves sont libres pour inventer la suite de l’histoire. Il·elle·s doivent seulement respecter les consignes données. Les élèves qui le souhaitent peuvent inclure des raisonnements mathématiques dans leur suite de l’histoire, mais il n’y a aucune obligation.
  Différenciation : pour les élèves, qui se sentent moins à l’aise avec l’écriture libre, un schéma narratif (M13 Schéma narratif) qui guidera l’écriture de la suite de l’histoire est disponible. Les consignes précédentes restent valables. En utilisant M14 Suite de l’histoire par questions, il est possible d’éviter l’écriture d’une suite. En répondant à des questions, les élèves seront néanmoins amené·e·s à réfléchir à la suite de l’histoire.

Deuxième heure d’enseignement

Rédaction (50 min) : Les élèves rédigent en travail individuel la suite de l’histoire.

Troisième heure d’enseignement

Entrée en matière (15 min) : Discussion sur les rédactions corrigées.

• Les rédactions des élèves ont été corrigées par l’enseignant·e et sont distribuées aux élèves.
• Des points importants (fautes récurrentes, vocabulaire etc.) sont discutés en plénière.

Mise en commun (25 min) : Discussion en plénière sur la différence entre les premières ébauches de la suite réalisée en groupe et la suite finale de l’histoire (partie 3).

Fin (10 min) : Lecture à voix haute de quelques suites de l‘histoire.

Les élèves qui se portent volontaires lisent leur suite de l‘histoire à voix haute devant le reste de la classe.

Courtes explications mathématiques

Ce paragraphe fournit de courtes explications sur les outils mathématiques apparaissant dans l’histoire. Pour des explications plus détaillées, nous renvoyons à la section 4.5. Pour aller plus loin.

Cette histoire est une belle illustration du fait que les puissances croissent toujours beaucoup plus vite que ce que l’on pense. En effet, dans le cas où la photo est envoyée à seulement 3 personnes, notre intuition nous dit que cela devrait prendre beaucoup de temps (voire une éternité) jusqu’à ce que tous les utilisateurs du réseau social (au nombre total de presque 2 milliards) la reçoivent. Or en faisant le calcul, on se rend compte du contraire.

• Le premier jour, 3 personnes l’obtiennent.
• Le deuxième jour 3²=9 personnes l’obtiennent.
• Après 10 jours 3¹⁰=59049 personnes sont déjà en possession de la photo.

Si on continue ce calcul, on se rend compte qu’

• après 19 jours, 3¹⁹= 1.162.261.467 personnes auront obtenu la photo. Ceci est légèrement inférieur à 2 milliards.
• Après 20 jours, 3²⁰=3.486.784.401 personnes auront obtenu la photo.

Nous pouvons donc conclure qu’après 20 jours, tous les utilisateurs de TakTok ont reçu la photo. Le nombre de 20 jours est clairement contre-intuitif.

Si on considère la première idée des jeunes, c’est-à-dire envoyer la photo à 30.000 personnes, alors il ne faut que 3 jours pour que tous les utilisateurs de TakTok reçoivent la photo :

• Le premier jour, 30.000 personnes l’obtiennent.
• Le deuxième jour, 30.000²=900.000.000 personnes l’obtiennent.
• Le troisième jour, 30.000³=27.000.000.000.000 personnes l’obtiennent.

Donc 2 jours ne sont tout juste pas assez, mais après 3 jours tous les utilisateurs de TakTok seront en possession de la photo.

Nous avons créé une version simplifiée de chacune des deux histoires (M4 et M11), qui se caractérisent par une plus grande brièveté. En particulier, les éléments qui peuvent constituer un obstacle à la compréhension (vocabulaire plus avancé, français parlé, etc.) ont été supprimés. En outre des termes typiquement français, comme le mot collège, ainsi que l’utilisation du verlan ont été remplacés ou effacés dans les versions simplifiées. Notons que dans une même classe, la version originale et la version simplifiée peuvent être utilisées

Nous tenons néanmoins à préciser que les versions originales sont les histoires écrites par l’autrice Marie Lhuissier. Elles sont plus agréables à lire que les versions simplifiées. Nous vous conseillons donc de n’utiliser les versions simplifiées que si c’est vraiment nécessaire.

Pour la partie écriture nous proposons trois versions différentes par histoire :

• écriture libre (M5 et M12),
• écriture avec schéma narratif donné (M6 et M13),
• réflexion à la suite de l‘histoire par des questions (M7 et M14).

La première version de l’activité engage davantage la créativité des élèves, mais est aussi plus exigeante. Les élèves sont libres d’inventer et d’écrire leur suite. Seul un nombre très restreint de consignes doit être respecté, puisque le but de l’exercice est avant tout d’amener les élèves à faire preuve d’imagination.

Dans la deuxième version, un schéma narratif est fourni aux élèves afin de les guider. Il·elle·s doivent toujours inventer et écrire leur propre suite de l’histoire, mais peuvent se laisser guider par le schéma.

La troisième version n’est plus axée sur l’écriture libre. Les élèves sont amené·e·s à réfléchir à la suite de l’histoire, mais via un questionnaire. Nous suggérons de n’utiliser cette version que dans le cas où l’élève ou les élèves manquent vraiment de créativité.

Notons que dans une même classe, différentes versions peuvent être utilisées en fonction du niveau des élèves.

1. Contexte luxembourgeois : Les deux histoires mélangent des aspects de la culture française (mention du collège, de la deuxième guerre mondiale, etc.) et de la culture luxembourgeoise (noms des personnages, deuxième guerre mondiale). En plus les histoires évoquent des thématiques importantes relatives au monde des adolescent·e·s et à la culture du Luxembourg.
2. Différenciation : Comme décrit dans le paragraphe précédent, le module contient plusieurs niveaux de différenciation dans le choix même de la version de l’histoire mais aussi dans les exercices proposés.
3. Guide de référence pour l’éducation aux et par les médias :
   – Compétence 4 – Protection des données et sécurité : 4.2 Protéger les données personnelles et la vie privée
   – Compétence 5 – Environnement numérique : 5.3 Interagir de manière responsable dans le monde numérique
4. Modèle des 4C : communication, collaboration, créativité, pensée critique :
   Les 4C interviennent dans ce module. Il est demandé aux élèves de collaborer pour réfléchir d’abord en groupe à une suite de l’histoire. Écrire la suite d’une histoire est un exercice de créativité. Dans les deux histoires, l’invention d’une suite implique un raisonnement mathématique sur des puissances. Ceci constitue un bon exercice de pensée critique. Finalement, à la fin de la troisième heure d’enseignement, les élèves qui le souhaitent peuvent lire leur suite à voix haute devant la classe (communication).

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