• Public visé : 6^eC et 6^eG
• Local : une salle de classe usuelle
• Matériel nécessaire : au moins un ordinateur ou tablette avec accès à Internet par groupe de 2 élèves
• Durée : 5 ou 7 heures d’enseignement

Compétences visées par le cours de mathématiques
• Utiliser une expression littérale pour modéliser des situations et pour décrire des dépendances.
• Décrire une série de figures ou une série de nombres à l’aide d’une expression littérale.
• Utiliser astucieusement une calculatrice ou un logiciel pour calculer une valeur numérique.
• Décoder une expression littérale en une série ordonnée d’instructions de calcul et savoir formaliser cet algorithme.

Compétences visées par le cours de sciences naturelles (Naturwissenschaften)
• Formuler des hypothèses fondées en fonction du contexte, à l’aide d’exemples.
• Faire des observations ciblées, présenter et évaluer les résultats, et tirer des conclusions.
• Reconnaître des relations simples de cause à effet et en tirer des conclusions logiques.
• Représenter schématiquement et interpréter des modèles présentés.

Compétences visées par le Guide de référence pour l’éducation aux et par les médias¹
• Compétences 1 : Analyser et évaluer des données, des informations et des contenus numériques.
• Compétences 2 : 2.1 Interagir avec autrui 2.3 Employer des formes d’expression appropriées (nétiquette).
• Compétences 3 : 3.3 Modéliser, structurer et coder.

¹ https://edumedia.lu/wp-content/uploads/2024/12/Medienkompass_FR_web.pdf 

Dans ce module, les élèves doivent se plonger dans des conjectures mathématiques. Ils doivent d’abord explorer des exemples, puis établir une conjecture, essayer de la démontrer pour à la fin formuler un théorème. Les différentes conjectures existent en version libre (M1) (sans aide, ni indices) et en version guidée (M2) (avec aides, indices et textes à trous).

Avant la leçon

L’enseignant divise les élèves en groupes de 4. Comme les problèmes ont des niveaux de difficulté différents, il est préférable de faire des groupes par niveau. Puis l’enseignant décidera à l’avance quel groupe travaillera sur quelles conjectures.

Notons que les conjectures 7 et 8 sont très difficiles. Elles sont censées être distribuées à des groupes d’élèves très forts en mathématiques. L’enseignant gardera aussi en tête qu’il n’est pas du tout nécessaire de traiter chaque conjecture de ce module. Le cas échéant, plusieurs groupes peuvent aussi travailler sur la même conjecture.

Il y a en tout 15 conjectures. Les conjectures sont de différents types :

• Conjectures 1 à 8 : ce sont des théorèmes vrais, facilement démontrables et ayant de courtes preuves. Ils ont cependant des niveaux de difficulté différents (voir tableau ci-dessus).
• Conjectures 9 à 12 : ce sont des conjectures réfutées, c’est-à-dire elles peuvent être prouvées fausses, respectivement un contre-exemple peut être trouvé. Ces énoncés sont faits d’une telle manière que si on se restreint à tester les 5 premiers cas, ces énoncés paraissent vrais. Or en testant un plus grand nombre de cas (n=40 pour 9, le 8e exemple pour 10, n=5 pour 11 et n=15 pour 12), on tombe rapidement sur un contre-exemple, qui réfute la conjecture.
• Conjectures 13 à 15 : ce sont des conjectures ouvertes, dont les mathématiciens sont convaincus qu’elles sont vraies mais personne n’a été capable de les prouver à ce jour.

On n’attend bien sûr pas des élèves qu’ils prouvent ces conjectures ouvertes. L’idée est de les familiariser une première fois avec le concept de conjecture mathématique ouverte. Les conjectures choisies sont toutes facilement compréhensibles et des exemples qui illustrent ces conjectures sont faisables pour des élèves de 6^e secondaire.
Le tableau suivant résume la nature et le niveau de difficulté des différentes conjectures.

L’unité peut se faire en 2 ou en 3 étapes. Dans le premier cas, les énoncés vrais et prouvables (conjectures 1 à 8) sont traités pendant l’étape 1. Pendant l’étape suivante, les énoncés ouverts et réfutés (conjectures 9 à 15) sont abordés. Dans le deuxième cas, l’étape 1 traite les énoncés vrais et prouvables (conjectures 1 à 8), l’étape 2 des énoncés réfutés (conjectures 9 à 12) et la dernière étape des énoncés ouverts (13 à 15).

Première heure d’enseignement

Entrée en matière (15 min) : L’enseignant fait une courte introduction sur le concept de conjectures. Les définitions suivantes peuvent être données (ou n’importe quelle autre définition de conjecture).

Définition 1. Une conjecture est une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l’on croit fortement être vraie.

Définition 2. Une conjecture est une hypothèse qui n’a encore reçu aucune confirmation.

Définition 3. Une conjecture est une proposition qui est émise sur la base d’observations, de motifs apparents, ou de résultats numériques, mais qui n’a pas encore été prouvée de manière formelle. Les mathématiciens formulent des conjectures lorsqu’ils remarquent des régularités dans les données ou des schémas dans leurs recherches.¹

Les conjectures sont distribuées en version libre aux élèves, qui travaillent individuellement pour le moment. L’enseignant dit à chaque élève sur quelle conjecture (parmi les conjectures 1 à 8) il doit travailler (selon la distribution établie auparavant) et les laisse travailler individuellement.

Exemples et conjectures (30 min) : Les élèves se mettent en groupe, les groupes étant désignés par l’enseignant. Ils réfléchissent aux exemples, à la conjecture et à une idée de preuve. L’enseignant passe à travers les bancs pour aider et répondre aux questions, si besoin.

Deuxième heure d’enseignement

Formulation d’une preuve (35 min) : Les élèves essaient de formuler une preuve, ou une explication pour le phénomène observé. Ils réfléchissent à la formulation de leur conclusion.

Conclusion (10min) : Chaque groupe présentera brièvement sa conjecture. Une discussion collective suivra sur la complexité du problème et des étapes clés (trouver des exemples, formuler une conjecture, trouver une preuve, formuler un théorème).

Fin de la leçon : L’enseignant ramassera toutes les copies et les corrigera pour la prochaine fois.

Différenciation : Les différentes conjectures existent en version libre (sans aide, ni indices) et en version guidée (avec aides, indices et textes à trous). Quand un groupe d’élèves semble être en difficulté, l’enseignant peut leur donner la version guidée du problème. La distribution de la version guidée sera adaptée aux besoins spécifiques de chaque groupe, en fonction de leur progression et de leurs difficultés particulières.
Notons que le plan de la leçon est établi sur la base du temps nécessaire quand les élèves travaillent sur la version libre des conjectures. Si toute la classe travaille dès le début sur la version guidée, le temps nécessaire peut être divisé par deux.

Troisième heure d’enseignement

Distribution des copies corrigées (10 min) : Les copies de la leçon précédentes sont distribuées aux élèves. Les élèves les parcourent et peuvent poser des questions.

Entrée en matière (10 min) :L’enseignant dit à chaque élève sur quelle conjecture il doit travailler (parmi les conjectures 9 à 15 si le module se fait en deux étapes uniquement, sinon parmi les conjectures 9 à 12 et selon la distribution établie auparavant) et les laissent travailler individuellement. Si le module se fait en deux étapes uniquement, l’enseignant veille à ce qu’au moins une conjecture de chaque catégorie (énoncés ouverts et énoncés réfutés) soit traitée.

Exemples et conjectures (25 min) : Les élèves se mettent en groupe, les groupes étant désignés par l’enseignant. Ils réfléchissent aux exemples, à la conjecture et à une idée de preuve. L’enseignant circule dans la classe pour aider et répondre aux questions, si besoin.

Quatrième heure d’enseignement

Formulation d’une preuve (35 min) : Les élèves essaient de formuler une preuve, ou une explication pour le phénomène observé. Ils réfléchissent à la formulation de leur conclusion.

Conclusion (10 min) : Chaque groupe présentera brièvement sa conjecture. Une discussion collective suivra sur la complexité du problème et des étapes clés (trouver des exemples, formuler une conjecture, trouver un contre-exemple ou découvrir qu’il s’agit d’un problème ouvert, formuler une conclusion). Les concepts de contre-exemple et problème ouvert sont discutés.

Fin de la leçon : L’enseignant ramassera toutes les copies et les corrigera pour la prochaine fois.

Différenciation : Les différentes conjectures existent en version libre (sans aide, ni indices) et en version guidée (avec aides, indices et textes à trous). Quand un groupe d’élèves semble être en difficulté, l’enseignant peut leur donner la version guidée du problème. La distribution de la version guidée sera adaptée aux besoins spécifiques de chaque groupe, en fonction de leur progression et de leurs difficultés particulières.
Notons que le plan de la leçon est établi sur la base du temps nécessaire quand les élèves travaillent sur la version libre des conjectures. Si toute la classe travaille dès le début sur la version guidée, le temps nécessaire peut être divisé par deux.

Cinquième et sixième heure d’enseignement (facultatives)

Ces deux heures d’enseignement sont facultatives. Si ces leçons sont abordées, les énoncés 9 à 12 sont traités dans la troisième et quatrième leçon et les énoncés 13 à 15 dans les deux leçons suivantes. Le même plan de leçon qu’auparavant s’applique.

Septième (resp. Cinquième) leçon : Clôture

Distribution des copies corrigées (10 min) : Les copies de la leçon précédentes sont distribuées aux élèves. Les élèves les parcourent et peuvent poser des questions.

Comme décrit dans le paragraphe précédent, la clôture peut être faite après la deuxième ou la troisième leçon. Cette leçon se déroule selon le concept de murs pédagogiques  (Agostino & de Versailles, 2024). Depuis sa mise en place à la rentrée 2017 au Lycée de la Plaine de Neauphle à Trappes dans les Yvelines, le dispositif pédagogique décrit dans ce chapitre, que l’on appelle « Murs pédagogiques », se retrouve aujourd’hui dans les pratiques de classes de plusieurs enseignants. Son appellation vient de l’équipement de certaines salles de cours avec des tableaux blancs installés aux murs. Les tableaux sont positionnés tout au long des murs libres et permettent de constituer des mini-classes en organisant les tables des élèves en fer à cheval autour de chaque tableau.

Mise en place (5 min) : En début de séance, les élèves sont répartis en groupes de quatre jusqu’à six. Chaque groupe s’installe face à l’un des tableaux ou simplement autour d’une table, les tableaux n’étant pas indispensables. Il est important de mixer les groupes et de ne pas garder les mêmes groupes que dans les phases précédentes.
Remarque importante : Si la deuxième et la troisième leçon ont été faites en une leçon, l’enseignant doit veiller à mettre dans chaque groupe au moins un élève qui a traité une fausse conjecture auparavant et un élève qui a traité une conjecture ouverte.

Première Phase (18 min) : Les fausses publications Instagram (M3) sont distribuées parmi les différents groupes. Il faut prévoir au moins deux publications différentes pour que la deuxième phase du scénario soit possible. Chaque groupe a la possibilité d’utiliser le tableau pour partager des tentatives et faire des essais. S’il n’y a pas des tableaux à disposition, les élèves peuvent simplement écrire sur des feuilles ou des tablettes. Aucune rédaction n’est attendue. En effet, on pourrait avoir la tentation de demander aux élèves de noter une résolution sur leur propre cahier dans une démarche de maximisation du travail de chacun, mais cette demande ne s’inscrit pas dans l’objectif principal de l’activité qui est d’aboutir à une résolution par le partage oral des idées avec un appui écrit au tableau. Dans cette activité, l’objectif du travail écrit est de permettre aux élèves de retenir les idées ou d’effectuer des calculs (Agostino & de Versailles, 2024). Le but est que les élèves lisent les publications Instagram ainsi que les commentaires et en discutent :

• Qui a raison ?
• Qui se trompe ?
• Pourquoi ?

Pour défendre leurs idées ils doivent utiliser les conjectures qu’ils ont vues dans les leçons précédentes (exemple : « l’affirmation est fausse car nous avons aussi vu une conjecture qui semblait fonctionner mais ne fonctionnait plus à partir de n=40 »).

Remarque : Les différentes publications Instagram n’ont pas toutes le même niveau de difficulté. Voici un tableau récapitulatif des publications et de leurs difficultés.

Deuxième phase (7 min) : À la fin de la première phase, les groupes changent de mini-classe. Un élève par groupe reste à sa place (choisi par consensus ou par l’enseignant) pour présenter au nouveau groupe la publication Instagram étudiée précédemment, en s’appuyant sur la publication et les notes au tableau. Les arrivants prennent des notes, questionnent ou corrigent si nécessaire. Ce moment permet aussi de terminer un travail inachevé. La prise de notes est autorisée car elle favorise la concentration et reproduit la posture habituelle en cours. Cette phase permet de réinvestir rapidement les apprentissages de la première étape.
En raison du changement de groupe, il est essentiel de distribuer au moins 2 publications Instagram différentes aux groupes. Il faut éviter qu’un élève qui se déplace retrouve la même publication Instagram que celle déjà étudiée.

La phase 2 requiert moins de temps. L’explication par l’élève restant est généralement correcte (fruit de la réflexion collective précédente), et l’essentiel consiste en la compréhension et les réponses aux questions du groupe. Ce processus est naturellement plus rapide que l’élaboration initiale de la solution.

Clôture (5 min) : La séance peut se terminer par un moment collectif où chaque groupe répond brièvement à une question comme « Qu’avez-vous appris aujourd’hui ? » ou « Qu’est-ce que cette séance vous a apporté ? ». Ce temps marque clairement un retour au collectif, les élèves s’exprimant pour la première fois devant toute la classe et l’enseignant. Ce bilan permet de vérifier l’acquisition du vocabulaire et d’évaluer la capacité des élèves à articuler un raisonnement logique. Cette prise de parole concise sur un sujet maintenant maîtrisé place l’élève dans un contexte plus exigeant que celui du petit groupe de travail.

¹ Définition tirée de l’article suivant https://www.futura-sciences.com/sciences/definitions/mathematiques-conjecture-373/ 

Comme indiqué dans la section précédente, il y a deux versions pour toutes les conjectures : la version libre (M1) et la version guidée (M2). Dans la version libre, les élèves doivent naviguer sans beaucoup d’aide à travers les conjectures. Chaque problème est posé de la même manière sous forme d’exemples – conjecture – preuve – théorème, et donc les élèves reçoivent un minimum de guidage, mais restent quand même sans aide face aux différentes sous-parties. Dans la version guidée, il y a des aides et des textes à trous pour guider les élèves.

L’enseignant est libre de combiner les deux versions comme il le souhaite :

• version libre pour certains élèves et version guidée pour d’autres,
• version libre pour le début et version guidée pour la suite,
• version libre pour les premières conjectures et version guidées pour les dernières conjectures,
•  …

1. Contexte luxembourgeois : L’Université du Luxembourg a un département de mathématiques très actif et bien représenté sur la scène internationale. Deux des chercheurs de ce département sont visibles dans l’interview dans 1.6 La parole aux scientifiques.
2. Différenciation : Comme décrit dans le paragraphe précédent, le module contient plusieurs niveaux de différenciation dans le choix même de la version de l’histoire mais aussi dans les exercices proposés.
3. Guide de référence pour l’éducation aux et par les médias¹
   Compétences 2 : 2.1 Interagir avec autrui. 2.3 Employer des formes d’expression appropriées (nétiquette).
   Compétences 3 : 3.3 Modéliser, structurer et coder.
4. Modèle des 4C : communication, collaboration, créativité, pensée critique : Les 4C interviennent dans ce module. Les différentes questions se résolvent en travail de groupe, ce qui demande de la communication et collaboration de la part des élèves.
5. Lien avec la recherche en mathématiques : Les activités de ce module sont beaucoup plus proches de la recherche en mathématiques que les exercices de mathématiques traditionnelles que nous trouvons dans les livres. Ce module invite les élèves à « être mathématiciens pour un jour » : à découvrir des curiosités mathématiques, à les formuler sous forme de conjectures et à les prouver.

1 https://edumedia.lu/wp-content/uploads/2024/12/Medienkompass_FR_web.pdf

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