• Public visé : 6C et 6G
  
• Local : pas de local spécial à prévoir
  
• Matériel nécessaire : des tablettes ou des téléphones mobiles sur lesquels un lecteur de code-barres est installé.
  Exemple :
  

  Cognex Barcode Scanners App : Appstore ou Playstore

• Les fiches de travail peuvent être consultées sur tablette ou en version imprimée. 
  
• Durée : 4 heures d’enseignement 

Contenus

• Division euclidienne
• Équations

L’élève est capable de/d’

• résoudre des problèmes à l’aide d’une division euclidienne.
• utiliser une calculatrice ou un logiciel pour effectuer une division euclidienne et en interpréter le résultat.
• vérifier si une valeur donnée est une solution d’une équation.
• résoudre une équation du 1^er degré de la forme ax+b=cx+d.
• résoudre des problèmes à l’aide d’une équation du 1^er degré.

Avant la leçon 

L’enseignant installe un lecteur de code-barres sur les tablettes de la classe ou demande aux élèves d’installer un lecteur de code-barres sur leur téléphone. Un lecteur qui fonctionne bien est par exemple celui-ci : 

Cognex Barcode Scanners App : Appstore ou Playstore

Il sera utile pour le début de la leçon.  

Comme devoir à la maison, l’enseignant demande aux élèves de chercher des codes-barres sur des produits à la maison et de les télécharger sur une plateforme (M1).  

La leçon 

 La leçon contient de nombreuses activités pour les élèves. Toutes les activités ne sont pas nécessaires pour la continuité de la leçon et certaines d’entre elles demandent plus d’efforts que d’autres. Laisser de côté ou ajouter ces activités est un bon moyen de différencier.  Les activités facultatives sont désignées par des étoiles.  

Il y a beaucoup de texte au début de chaque activité et entre les différents exercices. Nous avons choisi ce format pour permettre aux élèves de travailler de manière très autonome et d’avancer à leur rythme, sans devoir attendre les explications de l’enseignant. Bien sûr, l’enseignant reste libre de changer ce format et de donner des explications en début d’activité. Dans ce cas, les élèves peuvent ignorer le texte.   

Ces explications écrites sont surtout utiles si l’enseignant fait travailler des élèves sur des activités optionnelles. Ainsi les élèves peuvent entamer leur travail sans avoir besoin d’explications supplémentaires.  

Première heure d’enseignement 

Entrée en matière I (10 min). En plénière les élèves débattent des codes-barres qu’ils ont découverts. Ils essaient de répondre à la question de l’utilisation des codes-barres (M1).  

Entrée en matière II (10 min). Afin de comprendre le principe des codes-barres, en groupe de deux ou trois, dépendant du nombre de lecteurs de codes-barres à disponibilité, les élèves scannent les articles, cherchent le code dans la base de données et calculent le prix (M2). Des explications supplémentaires ne sont pas nécessaires. L’enseignant passe dans les rangs et vérifient que les deux petites réflexions ont bien été faites.  

Constat technique (10 min). Les élèves reçoivent plein de codes-barres abîmés (M3), mais chacun abîmé d’une manière différente. Dans les mêmes groupes qu’auparavant, ils doivent essayer de scanner les codes et voir si c’est possible ou non.  Ils doivent aussi décrire la lésion pour chaque code. Cet exercice fonctionne mieux s’ils cachent tous les codes-barres et laissent qu’un seul visible, sinon le lecteur de code-barres risque de scanner le mauvais. L’enseignant les laisse réfléchir en groupe à la conclusion à en tirer. Puis celle-ci est discutée en plénière. La bonne conclusion à en tirer est qu’un code-barres avec un seul chiffre illisible reste lisible pas le lecteur. En revanche à partir de 2 chiffres illisibles, le lecteur n’arrive plus à déchiffrer le code. Les détails se trouvent dans la section Solutions.  

Introduction du premier concept mathématique (15 min). Dans l’activité précédente, les élèves ont découvert que des codes-barres restent déchiffrables même si l’un des chiffres est illisible. Dans cette activité (M4), ils découvriront la raison derrière ce phénomène : la clé de contrôle.  Avant d’entamer l’activité et de lire l’explication, l’enseignant débattra en plénière de ce phénomène qui peut paraître magique au premier abord : comment le lecteur de code-barres est-il capable de lire un code si un chiffre est illisible ? Les élèves émettront des hypothèses de toutes sortes. L’enseignant n’écarte pas simplement les idées, mais explique pourquoi elles ne sont pas valides. Ensuite, l’enseignant essaie de mettre les élèves sur la bonne voie : l’un des 13 chiffres doit dépendre des autres (sinon il est impossible de le deviner). Mais de quelle manière ? L’objectif est que les élèves trouvent par eux-mêmes l’idée qu’un des 13 chiffres est obtenu à partir des autres via un calcul mathématique.   

La question suivante est bien-sûr de savoir quel calcul mathématique nous donne le 13^e chiffre. Dans cette activité deux calculs sont proposés, pour montrer qu’un est meilleur que l’autre. L’activité consiste en deux exercices : le premier montre que les deux calculs sont faisables et fournissent une clé de contrôle. Le deuxième montre que dans les deux cas, une erreur dans le code-barres est détectée par la clé de contrôle. À la fin de l’activité M4, les élèves connaissent le concept d’une clé de contrôle, mais ignorent encore que certains calculs sont plus efficaces que d’autres pour établir des clés de contrôle. Ceci conclut la première heure d’enseignement.  

Deuxième heure d’enseignement 

 Entrée en matière (1min). Le concept de clé de contrôle est brièvement rappelé de même que les deux méthodes de calcul d’une clé de contrôle (M5). 

Approfondissement du premier concept mathématique I (9 min). Dans cette activité, un code abîmé est donné : 23×2. Individuellement les élèves essaient de trouver la valeur de x pour que ce code fonctionne, c’est-à-dire pour que 2 soit bel et bien la clé de contrôle. Ils doivent le faire une fois selon la méthode d’Alice et une fois selon la méthode de Bob. La valeur de x n’est pas trouvée par résolution d’une équation mais par tâtonnement en essayant toutes les valeurs possibles de 0 à 9 (M5). Les résultats, c’est-à-dire comprendre qu’il n’y a qu’une seule possibilité pour la valeur de x dans la cas du code d’Alice, mais plusieurs valeurs possibles dans le cas du code de Bob, sont débattus en plénière.  

Approfondissement du premier concept mathématique II (10 min). En groupes (les mêmes groupes que dans la leçon précédente si possible), les élèves trouvent les chiffres manquants de M6.

Remarque : ceci n’a rien de compliqué, mais demande beaucoup de calcul mental, chose qui, d’après notre expérience, prend toujours plus de temps que prévu.

La conclusion (fin de l’activité M6) est d’abord débattue en groupe, puis en plénière.

***Rappel I. Cette activité (M7) est facultative. Si l’enseignant juge que les élèves ont besoin d’un rappel sur la division euclidienne, nous lui conseillons de le faire.  

Rappel II (10 min). Contrairement au rappel précédent, qui était théorique, ce rappel (M8) oblige les élèves à mettre les mains à la pâte et à calculer des restes de divisions euclidiennes. Pour gagner du temps, et si les élèves connaissent bien le concept de la division euclidienne, l’enseignant peut envisager de supprimer également ce rappel. Nous conseillons également à tout le monde de faire travailler les élèves en groupe, et qu’un élève s’occupe du cas d=2, un autre du cas d=3 et un autre du cas d=5. Nous conseillons également à tout le monde de faire le cas d=10. Cela servira plus tard. L’enseignant s’assure que tous les élèves ont compris l’astuce pour calculer le reste de la division euclidienne par 10. La deuxième activité de ce rappel (M9) aborde une propriété qui est important pour la suite. Nous conseillons donc de ne pas la laisser tomber.

***Pour aller plus loin. L’activité M10 sort du contexte et va plus loin. Elle peut être laissée de côté sans aucun souci. L’idée est d’aborder la congruence modulaire qui est, par définition, basée sur les restes des divisions euclidiennes par un nombre. Nous conseillons de la laisser aux élèves les plus forts. Ils peuvent la faire en classe s’ils avancent plus vite que les autres, ou comme devoir à la maison. La congruence modulaire est un concept des mathématiques plus abstraites qui peut éveiller l’intérêt des élèves forts pour les mathématiques abstraites.

Approfondissement (13 min). Dans cette activité (M11), la propriété suivante est abordée :

La somme des restes de divisions euclidiennes de a par d et de b par d équivaut au reste de la division euclidienne de a+b par d. 

Même si cette propriété est connue de certains élèves, nous conseillons de faire cette activité, car elle sera importante pour le raisonnement qui suivra. Cette activité se fait en partie sur la plateforme Mathigon (suivez le lien indiqué dans M11) et en partie sur papier. Nous conseillons de laisser les élèves travailler en groupe. Pour gagner du temps, une partie des élèves peuvent suivre l’approche d’Alice et une autre partie l’approche de Bob. Après, ils mettent leurs résultats ensemble et les comparent.

Clôture (2 min). En plénière la propriété précédente est discutée pour s’assurer que tous les élèves ont compris.

Troisième heure d’enseignement 

*** Excursion dans la combinatoire. Cette partie (M12) est à nouveau facultative. Elle n’est pas directement liée au module, donc la laisser de côté n’a pas d’impact sur la suite. Cependant, lorsqu’on aborde la création de codes-barres, une question naturelle qui se pose est le nombre de possibilités de codes-barres. C’est la raison pour laquelle nous avons inclus cette activité, qui constitue une première introduction à la combinatoire pour les élèves les plus motivés.

Introduction du deuxième concept mathématique (20 min). Le but de cette activité (M13) est de comprendre quel diviseur il faut choisir pour construire une clé efficace basée sur le reste d’une division euclidienne. D’abord les hypothèses de bases sont expliquées clairement en plénière (5 min):

• Code à 3 chiffres.

• Les deux premiers chiffres sont à choisir parmi les chiffres de 0 à 6.

• Définition de la clé de contrôle.

Remarque : Au tout début, il y a une petite partie de combinatoire. Celle-ci peut être traitée par une partie des élèves (par exemple, ceux qui ont fait l’activité facultative précédente), être laissée de côté sans avoir de conséquence sur le reste du module ou être traitée par tous les élèves.

L’enseignant divise la classe en 9 groupes, chacun travaillant sur un des 9 exemples de M13 pendant 10 minutes. Il s’assure que chaque groupe complète correctement la conclusion de son exemple. Ensuite, il recompose les groupes en plaçant un élève de chaque exemple dans chaque nouveau groupe. Dans ces nouveaux groupes, les élèves partagent leurs conclusions et remplissent ensemble le tableau récapitulatif final de M13 (5 min).

Conclusion (20 min). Les élèves se regroupent par deux ou trois pour cette activité. Ils prennent le temps de lire attentivement le texte et de compléter les espaces vides (M14). Nous recommandons de prévoir suffisamment de temps pour cette tâche, car le texte peut être complexe à comprendre pour les élèves.

Mise en commun (5 min). En plénière les constats faits lors de la conclusion sont débattus. L’enseignant s’assure que tous les élèves ont compris pourquoi c’est important de choisir un diviseur d > 6.

Quatrième heure d’enseignement 

Rappel et mise en commun (10 min). Dans cette première partie (M15), les élèves sont amenés à réfléchir sur l’ensemble des connaissances acquises jusqu’à présent dans le module. Ils sont ensuite invités à envisager comment concevoir de manière efficace un code-barres à 12 chiffres, avec un chiffre de contrôle en supplément. Cela sert de transition vers la seconde partie de la leçon, où le code-barres officiel EAN 13 est présenté.

Exemple réel (30 min). D’abord le code-barres EAN 13 est présenté (M16) et les consignes de calcul de la clé de contrôle sont expliquées. L’enseignant parcourt ceci en plénière avec les élèves (5 min). Puis les élèves refont le calcul de la clé de contrôle sur deux exemples (le code-barres d’un yaourt LUXLAIT et un code-barres qu’ils trouvent) (10 min). Cette activité et celles qui suivent peuvent être exécutées en groupe. Cette activité sert à renforcer la compréhension du calcul et à s’assurer de la compréhension des élèves. Une fois l’algorithme de calcul compris, on passe à la détection des erreurs (M17). Trois codes-barres sont présentés aux élèves qui doivent déterminer si les codes-barres sont corrects ou non (7 min). Si l’enseignant se rend compte que le calcul mental ralentit les élèves, il peut leur proposer d’effectuer cet exercice en groupes de 3 où chaque élève traite un exemple. Pour finir, deux codes-barres avec à chaque fois un chiffre manquant sont présentés aux élèves (M18) qui doivent retrouver le chiffre manquant. (8 min).

Remarque 1 : Si les équations ont déjà été abordées en classe, il est conseillé de demander aux élèves de déterminer le chiffre manquant en utilisant une équation correctement formulée. Sinon vous pouvez autoriser les élèves à trouver la réponse par essais successifs ou tâtonnement. Ceci est particulièrement intéressant pour une classe rencontrant des difficultés en mathématiques,

Remarque 2 : Pour rendre cet exercice plus ludique, l’enseignant peut acheter des produits appréciés par les élèves (boissons gazeuses, bonbons, etc.) et masquer un des chiffres du code-barres (en le noircissant par exemple). Il est recommandé de photographier le code-barres avant de masquer un chiffre. Il est également conseillé de répéter l’exercice deux fois avec deux produits différents, en masquant une fois un chiffre de rang impair et une autre fois un chiffre de rang pair (l’équation de résolution varie légèrement selon le rang du chiffre masqué). Ce jeu peut se dérouler de manière compétitive (le premier groupe à trouver le chiffre manquant reçoit le produit comme cadeau) ou de manière non-compétitive (l’enseignant achète suffisamment de produits pour tous les élèves, et chaque groupe obtient sa récompense une fois la bonne réponse trouvée). Le choix final dépend de l’ambiance de la classe et de l’attitude des élèves.

***Pour aller plus loin. Jusqu’à ce point, le module a clairement expliqué et montré, à l’aide d’exemples concrets, les idées derrière le code-barres EAN 13 (pourquoi les chiffres de 0 à 9, pourquoi une clé de contrôle, pourquoi la somme dans l’algorithme qui détermine la clé de contrôle, pourquoi la division euclidienne par 10). Ce qui reste à éclaircir est la somme pondérée : pourquoi multiplie-t-on les chiffres de rang pair par 3 ? Cette question est abordée et résolue dans l’activité M19. Même si cette partie est laissée de côté, nous conseillons à l’enseignant de la lire au cas où un élève poserait cette question.

Clôture (5 min). Pour clôturer le module, l’enseignant anime une discussion en plénière avec toute la classe durant laquelle il répète l’algorithme du code-barres EAN 13 et explique les différentes parties de cet algorithme en lien avec ce qui a été vu au cours de la session. 

Le module est conçu de façon à permettre aux élèves de travailler de manière autonome. Au début de chaque section, des explications sont fournies pour que les élèves puissent entamer la section sans l’aide de l’enseignant. Ainsi l’enseignant peut travailler avec les élèves plus faibles et laisser les élèves plus forts et motivés avancer à leur rythme.  

Pour une classe rencontrant des difficultés en mathématiques, l’enseignant a aussi la possibilité de laisser de côté une partie ou toute la partie axée sur le raisonnement mathématique (M4-M16) et de se concentrer sur le calcul de la clé de contrôle dans le cas des codes-barres EAN 13.  

• Contexte luxembourgeois : Les codes-barres sont universels et pas directement liés au Luxembourg. Cependant la thématique s’apprête à faire le lien avec la recherche faite au Luxembourg. Une partie du Département de Mathématiques du Luxembourg fait de la recherche en théorie des nombres, un domaine étroitement lié à la théorie des codes et la cryptographie. De la recherche en cryptographie et sécurité est également faite au Département d’Informatique de l’université du Luxembourg et au SnT (Interdisciplinary Centre for Security, Reliability and Trust).  

• Différenciation : Comme décrit dans le paragraphe précédent, le module contient plusieurs niveaux de différenciation. 

• Guide de référence pour l’éducation aux et par les médias : Compétences visées du Guide de référence pour l’éducation aux et par les médias⁴ : 

• Compétence 2 – Communication et collaboration : 2.1 Interagir avec autrui 

• Compétence 5 – Environnement numérique : 5.1 Résoudre des problèmes techniques simples 

• Modèle des 4C : communication, collaboration, créativité, pensée critique : Les 4C sont intégrés dans ce module. Au cours des quatre heures d’enseignement, il est demandé aux élèves de communiquer et de collaborer pour résoudre les problèmes. À chaque regroupement, la pensée critique des élèves est stimulée afin de traduire les concepts mathématiques abordés précédemment en règles pour la création d’un code-barres. La créativité des élèves est sollicitée dès le début du module lorsqu’ils doivent réfléchir à la manière dont un scanner de code-barres peut déchiffrer un code-barres endommagé. 

⁴ https://edumedia.lu/wp-content/uploads/2024/12/Medienkompass_FR_web.pdf 

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